Question

如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
（1）求DE所在直线的解析式；
（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BED中，由勾股定理建立关于DE的方程求解；
（2）分四种情况：在x的正半轴上，OP=OE时；在x的负半轴上，OP=OE时；EO=EP时；OP=EP时，分别可以求得点P对应的点的坐标；
（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点，能使四边形的周长最小，周长且为E′D′+ED．
【解析】
（1）由题意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD2=DE2=BE2+BD2，即DE2=（9-DE）2+32，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
设DE直线的解析式为y=kx+b，
∴
解得k=-，b=25
∴DE直线的解析式为y=-x+25；

（2）当在x的正半轴上，OP1=OE=15时，点P1与点A重合，则P1（15，0）；
当在x的负半轴上，OP2=OE=15时，则P2（-15，0）；
当OE=EP3时，作EH⊥OA于点H，有OH=CE=HP3=12，则P3（24，0）；
当OP4=EP4时，由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2，即（12-P4E）2+92=P4E2
解得OP4=EP4=，即P4（，0）；
∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个：
P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；

（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，
分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点．
在Rt△BE′D′中，D′E′==5
∴四边形DENM的周长=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5．