Question

如图，抛物线y=ax²+4经过x轴上的一点A（-2，0），P是抛物线上的一动点，以P为圆心作⊙P；
（1）求a的值；
（2）是否存在一个⊙P与两坐标轴的正半轴都相切？若存在，请你求⊙P的半径；若不存在，请说明理由．
（3）若⊙P的半径为，当⊙P与直线y=x-5相切时，求P点的坐标．

Answer

（1）根据抛物线y=ax2+4经过x轴上的一点A（-2，0），把A点代入y=ax2+4即可求出a的值；
（2）根据设P（x，-x2+4），利用⊙P与两坐标轴的正半轴都相切，则x=-x2+4求出即可，
（3）利用①当P在M的上方时，PM=-x2+4-（x-5）=3，②当P在M的下方时，PM=x-5-（-x2+4）=3，分别求出即可．
【解析】
（1）把A（-2，0）代入y=ax2+4得：
4a+4=0，
∴a=-1…（3分）；

（2）根据a=-1，则y=-x2+4，
设P（x，-x2+4），利用⊙P与两坐标轴的正半轴都相切，
则x=-x2+4…（5分），
解得：x1=，x2=（不合题意舍去），
则当⊙P与两坐标轴的正半轴都相切时，
⊙P的半径为…（7分）；

（3）如图，作PM∥y轴，交DE于M，作PN⊥DE于N，
易求直线y=x-5与两坐标轴的交点为E（0，-5），D（5，0）
所以∠PMD=∠OED=45°
∴，
若⊙P与直线y=x-5相切，则，
∴…（8分）
设P（x，-x2+4），则M（x，x-5）
①当P在M的上方时，PM=-x2+4-（x-5）=3，
解得：x=-3或2…（10分）
∴P1（-3，-5）P2（2，0）…（11分）
②当P在M的下方时，PM=x-5-（-x2+4）=3，
解得：x=-4或3…（13分）
∴（-4，-12）P4（3，-5）…（14分）．