Question

如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）请求出何时△PBQ是直角三角形？

Answer

（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP，故
∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出结论；
（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．
【解析】
（1）不变，∠CMQ=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．