Question

如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm²）．
（1）当t=1s时，求S的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当t=1时，AQ=QM=1，QB=3，BR=5，由tan∠PRQ=就可以求出BN的值，就根据梯形面积公式就可以求出S的值；
（2）根据梯形的面积公式=就可以表示出S的值；
（3）用（2）的结论S与t的函数关系式与S△PQR的值相等建立方程求出其解即可；
（4）根据平行四边形的判定方法当PM=BN时，求出其t的值就可以求出结论．
【解析】
（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，
∴MP=QB=4-1=3．
∵QR=8，
∴BR=8-3=5．
∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，
∴tan∠PRQ==．
∴，
∴，
∴BN=2.5．
S四边形PMBN==（0≤t≤4）；

（2）由题意，得
AQ=MQ=t，PM=BQ=4-t，BR=8-（4-t）=4+t，
∴BN=2+t，
∴S四边形PMBN=，
=t2-4t+12；

（3）由题意，得
t2-4t+12=×4×8，
解得：t1=8+4（舍去），t2=8-4，
∴t的值为4+；

（4）∵四边形PMBN是平行四边形，
∴PM=BN．
∵PM=4-t，BN=2+t，
∴4-t=2+t，
∴t=
∴t=时，四边形PMBN为平行四边形．