Question

抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．

Answer

（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；
（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；
（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．
【解析】
（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m-1）
∴顶点坐标为（-2，m-1）
∵顶点在直线y=x+3上，
∴-2+3=m-1，
得m=2；

（2）过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为：a2+a+2，
即点N（a，a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，
=（a2+a）2+（a2+4a）+4，
而NB2=（a2+a+2）2，
=（a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2，
NF=NB；

（3）连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴=，PF2=PA×PB=，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，
PG==，
∴PO=PG+GO=，
∴P（-，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（-2，2）、点P（-，0）代入y=kx+b，
解得k=，b=，
∴直线PF：y=x+，
解方程x2+x+2=x+，
得x=-3或x=2（不合题意，舍去），
当x=-3时，y=，
∴M（-3，）．