Question

如图，已知AB=3，BC=7，CD=．且AB⊥BC，∠BCD=135°．点M是线段BC上的一个动点，连接AM、DM．点M在运动过程中，
①当AM+DM的值最小时，BM=    ；
②当AM²+DM²的值最小时，BM=    ．

Answer

（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，求出DF，根据相似求出BM即可；
（2）根据勾股定理得出AM2=AB2+BM2=32+x2，DM2=DF2+FM2=52+（5+7-x）2，相加即可求出答案．
【解析】
（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=5，
则CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴=．
∴=，
∴BM=，

（2）设BM=x，
在Rt△ABM中，AM2=AB2+BM2=32+x2，
∵在Rt△DFM中，DM2=DF2+FM2=52+（5+7-x）2，
∴AM2+DM2
=9+x2+25+（12-x）2
=2x2-24x+178
=2（x-6）2+106，
∵2＞0，
∴AM2+DM2有最小值，当x=6时，最小值是106，
故答案为：；6．