Question

如图1，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=α°，∠BOC=β°

（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD，如图2所示．求证：OD=OC．
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示．求证：OA=DE
（3）在（2）的基础上，当α、β满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上．并直接写出AO+BO+CO的最小值．

Answer

（1）根据旋转的性质就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，进一步可以得出△DCO为等边三角形，即可以得出结论；
（2）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性质可以得出△EAD≌△ABO，从而就可以得出结论；
（3）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出结论．
【解析】
（1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DOC=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴DO=CO；
（2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC，△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，
即∠DAE=∠OBA，
在△EAD和△ABO中，
，
∴△EAD≌△ABO，
∴OA=DE；
（3）∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，
∴AB=BC=CE=AE，
∴四边形ABCE是菱形．
∵B、O、D、E在同一直线上，
∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线，
∴∠ABO=30°．
∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴∠ADC=∠BOC=β，∠EAD=∠AOB=α，
∴∠CDE=360°-α-β．
∵△COD是正三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°．
∵点B、O、D、E在同一直线上，
∴∠BOC=∠CDE=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADE=120°，
∴α=β=120°．
∴∠BAO=30°．
∴∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
同理可得：AO=CO．
∴AO=BO=CO．
作OF⊥AB于F，设BF=a，则BO=2a，
∴∠BFO=90°，BF=AB=，
在Rt△BOF中，由勾股定理，得
a=，
∴BO=，
∴AO+BO+CO=，
即AO+BO+CO的最小值为．