Question

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

Answer

可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中，考虑证明全等的条件，又有两个正方形，∴AD=CD，DE=DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，故夹角相等，可以证明全等；再利用互余关系可以证明AE⊥CG．
（1）证明：如图，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS）．
∴AE=CG．

（2）猜想：AE⊥CG．
证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG．
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN．
∴∠AMN=∠ADC=90°．
∴AE⊥CG．