Question

全国第十届数学教育方法论暨MM课题实施20周年纪念活动于9月27在无锡市一中拉开帷幕．与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课，其中青岛一位老师的“折纸”课，武汉的裴光亚教授评价是：“栩栩如生，五彩缤纷”．课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：

（1）如果该矩形纸片的长为4，宽为3，则图1、图2两图中的菱形面积分别为：______．
（2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示：在矩形ABCD中，设AB=3，AD=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积．
（3）借题发挥：如图4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合，折痕交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后与BC交于点M．试求：△EBM的面积．

Answer

（1）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半和正方形的面积公式计算；
（2）以BD为对角线，E、F分别在AD，BC上，且EF垂直平分BD，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的长，即为DE的长，则S菱形EAFD=DE•AB；
（3）由于AE=BE=1，则在Rt△AEF中，根据勾股定理可求得AF的值，由角的关系可求得△AEF∽△BME⇒=，求得BM的长，则S△EBM=BE•BM．
【解析】
（1）第一个菱形的面积=3×4÷2=6，
第二个菱形也是正方形，边长为3，则其面积=3×3=9；

（2）如图：（以BD或AC为对角线，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）
注意：只要画出图形，不必写画法，E、F略有位置误差视情况给分（4分）
【解析】
如图设线段ED的长为x．
∵四边形BFDE是菱形∴ED=BE=x
又∵矩形ABCD中AB=3，AD=4
∴AE=4-x
在Rt△ABE中AE2+AB2=BE2
∴（4-x）2+32=x2（5分）
解之得：x=∴ED=（6分）
∴S菱形EAFD=DE•AB=（7分）

（3）如图：
∵对折
∴DF=EF
设线段DF的长为x，则EF=x
∵AD=3
∴AF=3-x
∵点E是AB的中点，且AB=2
∴AE=BE=1
在Rt△AEF中有AE2+AF2=EF2
∴12+（3-x）2=x2
解之得：x=
∴AF=3-x=（8分）
在矩形ABCD中由于对折
∴∠D=∠FEM=90°∴∠1+∠2=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3
∴△AEF∽△BME，
∴=，
∴BM=（9分）
∴S△EBM=BE•BM=（10分）