Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer

（1）由圆周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD⇒⇒AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=．代入数值可求得PE的值，从而PC=PE+EC，由（1）知CD=PC，即可求出；
（3）由题意知，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．有S△PCD=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，故可求解．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°．
而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PDC．
∴．
∴AC•CD=PC•BC；（3分）

（2）【解析】
当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4．
∵P是的中点，
∴∠PCB=45°，
∴CE=BE=BC=2．
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=．
∴PE===．
从而PC=PE+EC=，
由（1）得CD=PC=（7分）

（3）【解析】
当点P在AB上运动时，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．
∴S△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，
∴S△PCD的最大值S=×52=．（10分）