Question

某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米²，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．

Answer

（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000-（8-x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000+（x-8）•40元
（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．             
（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则要交房款为y2，然后根据即y1-y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1-y2≤0时，解得a≥66.4，即可得出答案．
【解析】
（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：
y=3000-（8-x）×20=20x+2840 （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y=3000+（x-8）•40=40x+2680（元/平方米），
∴y=（x为正整数），
（2）由（1）知：
当2≤x≤8时，小张首付款为
（20x+2840）•120•30%
=36（20x+2840）≤36（20•8+2840）=108000元＜120000元，
∴2～8层可任选，
当9≤x≤23时，小张首付款为，
（40x+2680）•120•30%=36（40x+2680）元
36（40x+2680）≤120000，
解得：x≤，
∵x为正整数，∴9≤x≤16              
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．             
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y1=（40•16+2680）•120•（1-8%）（元）
若按老王的想法则要交房款为：
y2=（40•16+2680）•120•（1-9%）+12×5a（元）
∵y1-y2=3984-60a  
当y1＞y2即y1-y2＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1-y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
∴老王想法不一定正确．