Question

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，△AEG的面积为4，则四边形BEGF的面积为    ．

Answer

首先设AE=2x，BE=x，由题意可证得△BAF≌△ADE，即可得BF=AE=2x，然后由勾股定理求得AF的长，又可求得△AEG∽△AFB，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
【解析】
设AE=2x，BE=x，
则AB=AE+BE=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AB=DA，
∴∠DAG+∠BAF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGE=∠EGD=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
∵，
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴BF=AE=2x，
在Rt△ABF中，AF==x，
∵∠AGE=∠B=90°，∠BAF=∠GAE，
∴△AEG∽△AFB，
∴=（）2=（）2=，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积为：13-4=9．
故答案为：9．