Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；
（2）分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．
【解析】
（1）∵当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∴3=a×1×（-3），
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）存在．
①∵抛物线的对称轴为：直线x==1，
∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，
∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，
∴当Q1B=AB时，设Q（1，q），
∴1+（q-3）2=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．
当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），∴22+m2=12+（3-m）2，
∴m=1，
∴Q2（1，1）；
当Q3A=AB时，设Q3（1，n），
∴22+n2=12+32，
∴n=±，
∴Q3（1，），Q4（1，-）．
∴符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，），Q4（1，-）．