Question

某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元．设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费约是多少元？（精确到元）
（参考资料：若矩形的长为a、宽为b，且满足a²=b（a+b），则称这样的矩形为黄金矩形．≈2.2）

Answer

（1）根据周长和边长，求出矩形的宽，继而可得出S与x的函数关系式；
（2）当面积最大时设计费用最高，用配方法求出S的最大值，并求最高费用即可；
（3）根据矩形长为x，则宽为6-x，代入a2=b（a+b），求出长和宽，然后求出S，继而可求出设计费．
【解析】
设矩形长为x，则宽为6-x，
S=x（6-x）=-x2+6x，
则S与x之间的函数关系式为：S=-x2+6x（0＜x＜6）；

（2）S=-（x-3）2+9，
开口向下，故S有最大值，
当x=3是S取最大值9，
此时费用最多为9×1000=9000（元），
故当矩形的长为3米，宽为3米时，费用最多为9000元；

（3）由题意得：x2=（6-x）×6，
x2+6x-36=0，
解得：x=3-3或x=-3-3（不合题意，舍去），
此时宽为9-3，
S=（3-3）（9-3）=36-72=7.2，
1000S=7.2×1000=7200，
可获得的设计费7200元．