Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y₁=kx+b与反比例函数y₂=的图象相交于A（-2，m），B（n，4）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式（关系式）；
（2）根据函数图象，写出：
①当-2≤y₁≤4时，自变量x的取值范围是______；
②当y₂≤4时，自变量x的取值范围是______；
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．

Answer

（1）先将A（-2，m），B（n，4）两点的坐标代入反比例函数y2=的解析式，求出m=-2，n=1，再将A（-2，-2），B（1，4）两点的坐标代入y1=kx+b，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）①根据题意，结合图象，找出一次函数的函数值在-2与4之间对应的自变量x的取值即可；
②根据题意，结合图象，找出一次函数的函数值不大于4时对应的自变量x的取值即可；
（3）先根据一次函数的解析式求出C点坐标，再根据△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积即可求解．
【解析】
（1）∵反比例函数y2=的图象经过点A（-2，m），B（n，4）两点，
∴m==-2，4=，解得n=1．
∵一次函数y1=kx+b的图象也经过点A（-2，-2），B（1，4）两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式为y1=2x+2；

（2）①∵一次函数y1=kx+b的图象经过点A（-2，-2），B（1，4）两点，
∴根据图象可知，当-2≤y1≤4时，自变量x的取值范围是-2≤x≤1；
②∵反比例函数y2=的图象B（1，4），
∴根据图象可知，当y2≤4时，自变量x的取值范围是x＜0或x≥1；
故答案为-2≤x≤1；x＜0或x≥1；

（3）∵一次函数y1=2x+2与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，2），
∴△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
=×2×2+×2×1
=2+1
=3．