Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．

Answer

（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．
（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，
∴∠COF=∠BOF，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴==
又∵sin∠ABC=，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=，即=，
∴OH=4，
∴DH==2，
又∵△ADH∽△AFB，
∴=，=，
∴FB=．