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已知△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,以O为圆心的⊙O与AB相切于点C...

已知△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,以O为圆心的⊙O与AB相切于点C,⊙O与OA、OB分别交于点D、E.
(1)如图(1),若AB=6,求⊙O的半径长;
(2)如图(2),延长AO交⊙O于点F,求证:直线BF与⊙O相切.
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(1)连接OC,由AB与圆O相切,利用切线的性质得到OC垂直于AB,再由OA=OB,利用三线合一得到C为AB的中点,OC为顶角平分线,可得出AC的长及∠AOC的度数,在直角三角形AOC中,∠A=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出OA=2OC,利用勾股定理列出关于OC的方程,求出方程的解即可得到OC的长,即为半径的长; (2)由∠AOB=120°,利用邻补角定义求出∠BOF=60°,可得出∠BOC=∠BOF,再由半径OC=OF,公共边OB,利用SAS可得出三角形BOC与三角形BOF全等,再由∠OCB=90°,利用全等三角形的对应角相等可得出∠BFO=90°,即BF垂直于AF,可得出BF为圆O的切线,得证. 【解析】 (1)连接OC, ∵⊙O与AB相切, ∴OC⊥AB, ∵OA=OB,又AB=6,∠AOB=120°, ∴AC=AB=3,∠AOC=∠AOB=60°, ∴∠A=30°, ∴OA=2OC, 根据勾股定理得:OA2=OC2+AC2,即4OC2=OC2+9, 解得:OC=, 则⊙O的半径为; (2)∵∠AOB=120°, ∴∠BOF=60°, ∴∠BOF=∠BOC, 在△BOF和△BOC中, ∵, ∴△BOF≌△BOC(SAS), ∵∠OCB=90°, ∴∠OFB=∠OCB=90°, ∴BF与圆O相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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