Question

已知二次函数y=2x²+2mx+m-1．
（1）①若函数图象的对称轴为直线x=-1，求m的值；②若x≥-1时，函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）设抛物线与x轴的一个交点为（x₁，0），①当x₁=-2时，求m的值；②当-3＜x₁＜-2时，求m的取值范围；
（3）①若函数的最小值为-1，求m的值；②当2≤x≤4时，函数的最小值为-1，求m的值．

Answer

（1）①根据对称轴的公式x=-，即可得到一个关于m的方程，求得m的值；
②x≥-1时，函数值y随x的增大而增大，即-1在对称轴上，或对称轴的右侧，即-≤-1，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围；
（2）①（-2，0）是抛物线上的一点，代入函数的解析式，即可求得m的值；
②根据根的判别式可以得到抛物线与x轴一定有两个不同的交点，另一个交点不在-3＜x1＜-2的范围内，因而在抛物线的解析式中，当x=-3和-2时，两个函数值一定异号，据此即可求得m的范围；
（3）①函数的最小值为-1，即函数的顶点的纵坐标是-1，即可列方程求得m的值；
②分最小值是函数的顶点的纵坐标，和不是纵坐标两种情况进行讨论，当不是顶点的纵坐标时，2≤x≤4则一定在对称轴的同一侧，则函数一定经过（2，-1）或（4，-1），代入函数解析式即可求解．
【解析】
（1）①由，得m=2；
②由题意，得≤-1，得m≥2．

（2）①把x1=-2代入，得0=2（-2）2+2m（-2）+m-1，
解得；                                       
②△=（2m）2-8（m-1）=4（m-1）2+4＞0．
所以对任意的m值，抛物线与x轴都有两个交点．
设与x轴的另一个交点的横坐标为x2，则，
∴当由-3＜x1＜-2时，x2不在这个范围内．
由-3＜x1＜-2，得
或，解得或（无解）．
∴．

（3）①=-1，
解得：m=0，m=2；
②但最小值为-1，是整个函数的最小值时，即①的情况，求得m=0或2，当m=0时，应该有当x=0时，又最小值是-1，故不合题意；
当m=2时，则抛物线的解析式是：y=2x2+4x+1，则当x=-1是，又最小值是-1；
因而2≤x≤4应该是对称轴一侧的点，
对称轴是x=-，当2≤x≤4都在对称轴的右侧，则一定过点（2，-1），代入函数的解析式得：m=-；
当2≤x≤4都在对称轴的左侧，则一定过点（4，-1），代入函数的解析式得：32+8m+3=-1，解得：m=-，（与当2≤x≤4都在对称轴的右侧相矛盾，故舍去）．
总之，m=-．