Question

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．

Answer

（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；
（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；
（3）首先证明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，即可得出y与x之间的函数关系式；
（4）根据三角形边长相等得出答案．
【解析】
（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）当点F与点B重合时，FC=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=，

（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，
解得x=，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴S=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x2；
当＜x≤时，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴，
∴，
∴DO=（20-4x），
∴S=DO•DE=×（20-4x）（20-4x）=（5-x）2；

（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x=；△B′DE为拼成的三角形；
②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x=；△BDC为拼成的三角形；
③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x=，△DPF为拼成的三角形．