Question

如图①，在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为二厘米和一厘米的正方形纸片ABCD和EFGH，且BC且在PQ上，PB=1厘米，PF=厘米，从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘米每秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张图片同时停止移动，设平移时间为t秒时，（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S₁，纸片EFGH扫过的面积为S₂，AP，PG，GA所围成的图形面积为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问题：
（1）当t=时，PG=______

Answer

（1）PG==，PA==2，AG==，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得当t=0.5时，G在AP上，那么可分G在△APB内和△APB外两种情况进行解答．
（3）按等量关系列出等式，根据t的取值范围得到所求．
【解析】
（1）当t=时，PG=，PA=2，此时PA=PG+GA；（各1分）

（2）①当0≤t≤0.5时，连接GB

S△APG=S△APB-S△PGB-S△AGB
=×2（2t+1）-（2t+1）（t+0.5）-×2×2t
=-t2-t+（2分）
②当0.5＜t≤1.5时，过A作AK⊥PN于K，连接KG

S△APG=S△APK-S△PGK-S△AGK
=×2（2t+1）-（2t+1）（1.5-t）-×1×2
=t2+t-（2分）

（3）存在
S1=2（2t+2）=4t+4，S2=t+1（1分）
若S1+S2=4S+5，则
4t+4+t+1=4（t2+t-）+5，即4t2-t-3=0（1分）
∴t1=（舍去），t2=1（1分）
即当t=1时，S1+S2=4S+5．