Question

如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．

Answer

（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；
（2）作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，则DE=A2H．在Rt△A2OD中，由特殊角的三角函数得∠A2OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．从而得出点A所经过的路径长．
【解析】
（1）如图（1），点A运动到点A1的位置时∠AOE=45°．
作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，
∴A1F=GE．（1分）
在Rt△A1OG中，
∵∠A1OG=45°，OA1=10，
∴OG=OA1•cos45°=10×=5．（2分）
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5．
∴A1F=GE=25-5．（3分）
答：点A到桌面的距离是（25-5）厘米．（4分）

（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A2H⊥MN于H，则A2H=20．作A2D⊥OE于点D，
∴DE=A2H．（5分）
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A2OD中，
∵OA2=10，
∴cos∠A2OD===．
∴∠A2OD=60°．（7分）
由圆的轴对称性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．
∴点A所经过的路径长为=．（9分）
答：点A所经过的路径长为厘米．（10分）