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如图,已知△ABC是等边三角形,点O为是AC的中点,OB=12,动点P在线段AB...

如图,已知△ABC是等边三角形,点O为是AC的中点,OB=12,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒manfen5.com 满分网个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在直线OB上,取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.
(1)求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)设等边△PMN和矩形ODE F重叠部分的面积为S,请求你直接写出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并写出对应的自变量t的取值范围;
(4)点P在运动过程中,是否存在点M,使得△EFM是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.

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(1)根据等边三角形的性质可以得出:AB=BC=CD,∠ABC=BAC=60°,再根据勾股定理的性质求出当M到O点时AP的值就可以求出t值. (2)由AP=t,根据勾股定理可以求出PG=3t,AG=2t,MG的值,从而可以求出结论; (3)分两种情况进行讨论,当0≤t≤1时,如图1和当1<t≤2时,如图2.根据等边三角形的性质和运用勾股定理就可以求出S与t的关系式; (4)先求出MN=BN=PN=8-t,MB=16-2t,再分类讨论,当FM=EM时,如图4,M为OD中点,当FM=FE=6时,如图5,当EF=EM=6时,点M可在OD或DB上,如图6,如图7,根据等腰三角形的性质就可以求出t的值. 【解析】 (1)如图3,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA,∠ABC=BAC=60°. ∵O为AC中点, ∴∠AOP=30°,∠APO=90°,AO=AC=AB, ∵OB=12,在Rt△AOB中,由勾股定理,得 OA=4,AB=8, 在Rt△AOP中,∵∠AOP=30°, ∴AP=2, ∴t=2÷=2 ∴当t=2时,点M与点O重合; (2)如图1,∵AP=t, ∴PG=3t,AG=2t, ∴GO=4-2t, ∴MO=4-2t, ∴MG=8-4t, ∴PM=8-t ∴等边△PMN的边长为 PM=8-t; (3)(Ⅰ)当0≤t≤1时,即PM与线段AF相交,如图1. 作KH⊥PE, ∴∠PHK=90°. ∵△PMN是等边三角形, ∴∠MPN=∠PMN=60°, ∴∠KPE=∠KEP=30°. ∴KE=2KH. ∵AP=t, ∴PE=4-t, ∴HE=2-t, 在Rt△KHE中,由勾股定理,得 KH=2-t,KE=4-t, ∴KF=2+t. ∵AP=t, ∴PG=3t,AG=2t, ∴GO=4-2t, ∴MO=4-2t, ∴ON=4+t, ∴S重叠=, =2t+6;                     (Ⅱ)当1<t≤2时,如图2. 由(Ⅰ)得:GO=4-2t,KF=t+2, ∴FG=2t-2, ∴FH=2t-2, ∴S重叠=- =-2t2+6t+4.          (4)∵MN=BN=PN=8-t,∴MB=16-2t. ①当FM=EM时,如图4,M为OD中点, ∴OM=3, 由OM+MB=OB得: 3+16-2t=12, ∴t=3.5, ②当FM=FE=6时,如图5, ∴OM=, 由OM+MB=12得: +16-2 t=12, ∴t=. ③当EF=EM=6时,点M可在OD或DB上,如图6,如图7, DM=, ∴DB+DM=MB,或者 DB-DM=MB ∴6+=16-2 t 或者6-=16-2 t ∴t=,或者t=. 综上所述,当t=3.5,,,时,△MEF是等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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