Question

如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；
（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；
（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由．

Answer

（1）可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组，即可求出A点的坐标．
（2）先根据直线BC的解析式求出B点的坐标，然后根据已知的A点和原点坐标，用待定系数法即可求出过A、B、O三点的抛物线的解析式．进而可求出其顶点P的坐标．
（3）如果设FM与y轴交于R，EN与y轴交于Q，不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形，那么本题可分二种情况进行讨论：
①当EF＞QE时，那么重合部分的面积是个矩形的面积，以EF和QE为长和宽．
②当EF≤QE时，那么重复部分就是正方形EFMN的面积．
根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S，t的函数关系式．
（4）可根据（3）的函数得出S的最大值及对应的t的值．然后根据t确定出E，F点的坐标，进而可求出直线EF的解析式，由此可判断出抛物线的顶点是否在直线EF上．
【解析】
（1）依题意得．
解得．
∴点A的坐标为（4，4）．

（2）直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为（6，0）．
设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax2+bx，
依题意得．
解得．
∴所求抛物线的表达式为y=-x2+3x．
y=-x2+3x=-（x-3）2+，
∴点P坐标（3，）．

（3）设直线MF、NE与y轴交于点R、Q，则△OQE是等腰直角三角形．
∵OE=1×t=t，
∴EQ=OQ=，
∴E（，）．
∵EF∥y轴，
∴RF=，RO=-2×t+12=12-．
∴EF=RQ=12--=12-t．
①当EF＞QE时，即12-t＞t，
解得t＜3．
∴当0≤t＜3时，S=EF•QE=t（12-t）=-t2+6t．
②当EF≤QE时，即12-t≤，
解得t≥3．
∴当3≤t＜4时，S=EF2=（12-t）2．
（4）当0≤t＜3时，S=-t2+6t=-（t-2）2+12．
∴当t=2时，S最大=12．
当3≤t＜4时，S最大=（）2=9．
∴当t=2时，S最大=12．
当t=2时，E（2，2），F（2，8），
∵P（3，），
∴点P不在直线EF上．