Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．
（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE=2O₂D；
（3）在（2）的条件下，若△AO₂D的面积为1，求△BO₂D的面积．

Answer

（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论；
（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，进而得出，即可得出答案；
（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可．
证明：（1）∵⊙O1与⊙O2是等圆，
∴AO1=O1B=BO2=O2A，
∴四边形AO1BO2是菱形；

（2）∵四边形AO1BO2是菱形，
∴∠O1AB=∠O2AB，
∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，
∴∠ACE=∠AO2C=90°，
∴△ACE∽△AO2D，
，
即CE=2DO2；

（3）∵四边形AO1BO2是菱形，
∴AC∥BO2
∴△ACD∽△BO2D，
∴，
∴AD=2BD，
∵，
∴，