Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点O为是AC的中点，OB=12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）设等边△PMN和矩形ODE F重叠部分的面积为S，请求你直接写出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围；
（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据等边三角形的性质可以得出：AB=BC=CD，∠ABC=BAC=60°，再根据勾股定理的性质求出当M到O点时AP的值就可以求出t值．
（2）由AP=t，根据勾股定理可以求出PG=3t，AG=2t，MG的值，从而可以求出结论；
（3）分两种情况进行讨论，当0≤t≤1时，如图1和当1＜t≤2时，如图2．根据等边三角形的性质和运用勾股定理就可以求出S与t的关系式；
（4）先求出MN=BN=PN=8-t，MB=16-2t，再分类讨论，当FM=EM时，如图4，M为OD中点，当FM=FE=6时，如图5，当EF=EM=6时，点M可在OD或DB上，如图6，如图7，根据等腰三角形的性质就可以求出t的值．
【解析】
（1）如图3，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=BAC=60°．
∵O为AC中点，
∴∠AOP=30°，∠APO=90°，AO=AC=AB，
∵OB=12，在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA=4，AB=8，
在Rt△AOP中，∵∠AOP=30°，
∴AP=2，
∴t=2÷=2
∴当t=2时，点M与点O重合；
（2）如图1，∵AP=t，
∴PG=3t，AG=2t，
∴GO=4-2t，
∴MO=4-2t，
∴MG=8-4t，
∴PM=8-t
∴等边△PMN的边长为 PM=8-t；
（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，即PM与线段AF相交，如图1．
作KH⊥PE，
∴∠PHK=90°．
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
∴∠KPE=∠KEP=30°．
∴KE=2KH．
∵AP=t，
∴PE=4-t，
∴HE=2-t，
在Rt△KHE中，由勾股定理，得
KH=2-t，KE=4-t，
∴KF=2+t．
∵AP=t，
∴PG=3t，AG=2t，
∴GO=4-2t，
∴MO=4-2t，
∴ON=4+t，
∴S重叠=，
=2t+6；                    
（Ⅱ）当1＜t≤2时，如图2．
由（Ⅰ）得：GO=4-2t，KF=t+2，
∴FG=2t-2，
∴FH=2t-2，
∴S重叠=-
=-2t2+6t+4．         
（4）∵MN=BN=PN=8-t，∴MB=16-2t．
①当FM=EM时，如图4，M为OD中点，
∴OM=3，
由OM+MB=OB得：
3+16-2t=12，
∴t=3.5，

②当FM=FE=6时，如图5，
∴OM=，
由OM+MB=12得：
+16-2 t=12，
∴t=．

③当EF=EM=6时，点M可在OD或DB上，如图6，如图7，
DM=，
∴DB+DM=MB，或者 DB-DM=MB
∴6+=16-2 t 或者6-=16-2 t
∴t=，或者t=．
综上所述，当t=3.5，，，时，△MEF是等腰三角形．