Question

已知：如图1，在DE上取一点A，以AD、AE为正方形的一边在同一侧作正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG、BE，则线段DG、BE之间满足DG=BE且DG⊥BE；

根据所给图形完成以下问题的探索、证明和计算：
（1）如图2，将正方形AEFG绕A点顺时针旋转α度，即∠BAG=α （0°＜α＜180°），那么（1）中的结论是否仍成立？若不成立请说明理由，若成立请给出证明．
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，S是否有最大值？若有，求出S的最大值及相应的α值．

Answer

（1）根据正方形的性质可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夹角为90°，所以△BAE是△DAG顺时针旋转90°得到的．
（2）当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，且面积最大，可以知道∠BAG=90°．
解（1）∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
①当α≠90°时，在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，
②当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，显然BE=DG，且BE⊥DG．
（2）如图2，当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，
通过观察比较可知，当α=90°时，S有最大值，
S=×3×2×2+×2×2+×3×3=
∴当S取得最大值时，α=90°．