Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQCM}=S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．
【解析】
（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得t=，
∴当t=s时，四边形PQCM是平行四边形；

（2）过P作PE⊥AC，交AC于E，如图所示：
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴=，即=，
解得BF=t，
∴FD=BD-BF=8-t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=（PQ+MC）•FD=（t+10-2t）（8-t）=t2-8t+40；

（3）S△ABC=AC•BD=×10×8=40，
当y=S△ABC=×40=时，
即t2-8t+40=，
解得：t1=，t2=（舍去）；

（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴==，又AD==6，
∴==，
∴HM=t，AH=t，
即HP=10-t-t=10-t，
在直角三角形HMP中，MP2=+=t2-44t+100，
又∵MC2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
∵MP2=MC2，
即t2-44t+100=100-40t+4t2，
解得：t1=，t2=0（舍去），
∴t=s时点M在线段PC的垂直平分线上．