Question

已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（P与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1
（1）BC、AP₁的长；
（2）①求过B、P₁、D三点的抛物线的解析式；
②求当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由．

Answer

（1）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
（2）①把点B、P1、D的坐标分别代入抛物线解析式y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求该抛物线的解析式；
②根据①的抛物线的解析式求得对称轴方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的对应边的比成比例来求r的值；
（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．
【解析】
（1）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴=，AP1===1；

（2）易求B（0，1）、P1（1，3）、D（4，3）．
设过B、P1、D三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），则
，
解得，，
所以抛物线解析式为：y=-x2+x+1；
②在Rt△ABP1中，∵AB=2，AP1=1，
∴BP1=，
当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=-1；
∵抛物线解析式为y=-x2+x+1，
∴抛物线的对称轴是为：x=．
当⊙P与直线x=相切时，AP=-r或AP=+r．
∵△AFP∽△ADC，
∴AP：AC=PF：CD，即AP：2=（-1）：2，
∴AP=5-．
当AP=-r时，-r=5-，解得r=-（不合题意，舍去）；
当AP=+r时，+r=5-，解得r=-．
综上所述，当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值是-；

（3）外离或相交．理由如下：
∵Rt△APF∽Rt△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5-．
设AP=m，梯形PECD的面积为S．
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）．
∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，
∴S四边形PECD=5或者S四边形PECD=3，
当S四边形PECD=5时，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5-，
∴此时两圆外离．
当S四边形PECD=3时，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5-＜AP＜4，
∴此时两圆相交．