Question

如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．
理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

Answer

（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；
（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值；
（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长；
证法二：利用“角边角”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出∠M=∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长．
【解析】
（1）作图如下：（2分）

（2）在图2中，EF=FG=GH=HE===2，
∴四边形EFGH的周长为4×2=8，（3分）
在图3中，EF=GH==，FG=HE===3，
∴四边形EFGH的周长为2×+2×3=2+6=8．（4分）
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．（5分）

（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．
∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
而FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．

∴EF=MF，EC=MC，（6分）
同理：NH=EH，NB=EB．
∴MN=2BC=16．（7分）
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠N=90°-∠3，
∴∠M=∠N．∴GM=GN．（8分）
过点G作GK⊥BC于K，则KM=MN=8，（9分）
∴GM===4，
∴四边形EFGH的周长为2GM=8，（10分）
证法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
而FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴EF=MF，EC=MC．（6分）
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠HEB=90°-∠4，
而∠1=∠4，
∴∠M=∠HEB．
∴HE∥GF．
同理：GH∥EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．（7分）
∴FG=HE，
而∠1=∠4，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE．
∴DG=BE．（8分）
过点G作GK⊥BC于K，则KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8．（9分）
∴GM===4，
∴四边形EFGH的周长为2GM=8．（10分）