Question

如图，四边形AODB是边长为2的正方形，C为BD中点，以O为原点，OA、OD所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使D、A分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若EC⊥AC于C，交x轴于点E，连接AE，求直线AE的解析式；
（3）求证：∠BAC=∠CAE．

Answer

（1）根据正方形的性质即可求得点A、C的坐标，然后将点A、C的坐标分别代入直线AC的解析式y=kx+b（k≠0），列出关于k、b的方程组，通过解方程组来求k、b的值；
（2）通过相似三角形（△ABC∽△CDE）的对应边成比例得到=，由该比例式可以求得线段DE的长度，则易求点E的坐标，所以理应待定系数法可以求得直线AE的解析式；
（3）首先，根据直线AC的解析式求得点F的坐标F（4，0），则OF=4．然后，根据勾股定理、线段间的和差关系求得AE=EF；最后，由等腰△AEF的性质推知∠1=∠3，平行线AB∥OF的性质推知∠2=∠3，等量代换证得结论．
【解析】
（1）由题意知A（0，2），C（2，1），设直线AC为y=kx+b（k≠0）．则
，
解得，，
∴直线AC的解析式为：y=-x+2；

（2）设直线AE的解析式为：y=ax+t（a≠0）．
∵如图，EC⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠CED（同角的余角相等）．
又∵∠B=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴=，即=，∴DE=，则E（，0）．
又∵A（0，2），
∴，
解得，，
∴直线AE的解析式是y=-x+2；

（3）证明：如图，设直线AC交x轴与F．
∵由（1）知，直线AC的解析式为y=-x+2，则F（4，0）．∴OF=4．
又∵A（0，2），E（，0），
∴AE=EC=，
∵EC⊥AC，
∴AE=EF，
∴∠1=∠3．
又∵AB∥OF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即∠BAC=∠CAE．