Question

如图，已知△ABC，⊙O₁是它的外接圆，与⊙O₁内切于A点的⊙O₂交AB于F，交AC于G，FE⊥BC于E，GH⊥BC于H，AD是△ABC的高，交FG于M，且AD=6，BC=8．
（1）求证：四边形FEHG是矩形；
（2）设FE=x，写出矩形FEHG的面积y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，两圆的半径有什么关系？并证明你的结论．

Answer

（1）要证四边形FEHG为矩形，已知条件有垂直，只需证明四边形为平行四边形，而已知能得出FE与GH平行，只需证FG平行于EH，利用同位角相等两直线平行来证，即要得到∠AGF=∠C，作出两圆的公切线，利用弦切角等于所夹弧所对的圆周角即可得证；
（2）要写出矩形FEHG的面积y与x之间的函数关系式，EF=x，只需用x表示出FG，然后利用矩形的面积公式即可列出；
（3）当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，可添加半径，连心线从中找出之间的联系，得出半径间的关系，证明即可．
（1）证明：过P作两圆的公切线PQ，如图所示，
∴∠PAB=∠AGF，∠PAB=∠C，
∴∠AGF=∠C，
∴FG∥BC，
∵FE⊥BC，GH⊥BC，
∴FE∥GH，
∴四边形FEHG为平行四边形，
∵∠FEC=90°，
则四边形FEHG为矩形；
（2）【解析】
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMG=∠ADC=90°，
∵EF=MD，
∴AM=AD-MD=AD-EF，
∴=，
∵EF=x，矩形FEHG面积为y，AD=6，BC=8，
∴=，即FG=（6-x），
则y=x（6-x）=-x2+8x（0＜x＜6）；
（3）【解析】
∵S△ABC=AD•BC=24，矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半，
∴-x2+8x=×24，即（x-3）2=0，
解得：x1=x2=3，
即当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，FE=MD=3，则AM=AD，
证明：连接O2F，O1B，O1A，则O2必然在O1A上，
∵AO1=BO1，∴∠O1AB=∠O1BA，
∵AO2=FO2，∴∠O2AB=∠O2FA，
∴∠O2FA=∠O2BA，
∴FO2∥BO1，
∴===，
则AM=AD．