Question

已知抛物线L：y=x²-（k-2）x+（k+1）²
（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x²+12x+9上；
（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；
（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线．问是否存在点D，使△ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后代入函数解析式中，根据左右两边相等即可作出证明．
（2）设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，利用求根公式得出两根的表达式，继而表示出AB的长，然后可计算出最大值．
（3）若△ABD为等边三角形，那么点D必在抛物线的对称轴上，即只有抛物线的顶点才有可能符合D点的条件．首先，根据（2）的结果求出A、B、D三点坐标，根据这三点坐标特点判断一下△ABD是否符合等边三角形的特征，若符合，再根据待定系数法求出直线AD的解析式．
【解析】
（1）抛物线L的顶点坐标C是（，），
将顶点坐标C代入y=3x2+12x+9，
左边=，右边=3（）2+12（）+9=，
故可得：左边=右边，
所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；

（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，
设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，
依题意x1，2=，
|AB|=|x1-x2|=||
===，
由此可知，当k=-2时，AB达到最大值即2，
而k=-2恰好在-4＜k＜0内，
所以A、B间距取得最大值时k的值为-2．

（3）存在．
因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上，
又∵点D在抛物线上，
∴若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，
当k=-2时，抛物线L：y=x2+4x+1，顶点D（-2，-3），
解方程x2+4x+1=0，得x1=-2+，x2=-2-，
所以A（-2+，0），B（-2-，0），
如图，在△ABD中，DB=DA，
E为AB中点，AB=|（-2+）-（-2-）|=2，
∴AE=，tan∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
因为直线y=ax+b经过点A（-2+，0）、D（-2，-3），
所以依题意把k=2代入，
解得：，
所以所求为y=x-3+2．