Question

如图，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．
（1）若正方形边长为4，求AP的长；
（2）求证：∠DAQ=45°-∠BAP．

Answer

（1）利用正方形性质以及DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，得出PC=x，则BP=4-x，AP=4+x，进而利用勾股定理求出即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质首先得出△ADQ≌△MCQ，即可求出AD=CM，∠DAM=∠AMP，再利用等腰三角形的性质得出∠PAM=∠AMP，利用∠DAP=90°-∠BAP即可求出．
（1）【解析】
∵正方形ABCD中，DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，
∴设PC=x，则BP=4-x，AP=4+x，
在Rt△ABP中，
∵AB 2+BP 2=AP 2，
∴4 2+（4-x）2=（4+x）2，
解得：x=1，
则BP=3，
AP=4+1=5；

（2）证明：延长AQ交BC的延长线于M，
在△ADQ和△MCQ中，
∵，
∴△ADQ≌△MCQ（ASA），
∴AD=CM，∠DAM=∠AMP，
∵AP=CD+CP，
∴AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠DAM=∠PAM，
∵∠DAP=90°-∠BAP，
∴2∠DAQ=90°-∠BAP，
∴∠DAQ=45°-∠BAP．