Question

如图（1），四边形OABC是菱形，边长为4，∠AOC=60°，垂直于OC的直线l从O点出发，沿射线OC向右以每秒1个单位长度的速度平移，设直线l经过B点时停止运动，设运动时间为t（s），t＞0．
（1）求出直线l经过A点时t的值；
（2）△OMN的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）直线l开始运动的同时，如图（2），P点从B点出发，沿着BC-CO向O点以每秒2个单位长度的速度平移，则是否存在l的值，使△PMN为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由四边形OABC是菱形可以得出OA=AB=BC=CO=4，由l⊥OC可以得出∠MNO=90°，而∠AOC=60°，就有∠OMN=30°，就有ON=OM，从而就可以求出l经过A点时ON的长度，由时间=路程÷速度就可以求出t值；
（2）是一个分段函数，根据三角形的面积公式当0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6时分别表示出△OMN的面积即可；
（3）分情况讨论当0＜t≤2时，分三种情况，如图6，图7，图8，分别求出t的值；当2＜t≤时，如图9，MN=NP=2＞2（舍去）；当＜t≤4时，如图12，可以求出t的值，然后综合得出t值的结论即可．
【解析】
（1）如图11，∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=4．
∵l⊥OC，
∴∠MNO=90°．
∵∠AOC=60°，
∴∠OMN=30°，
∴ON═OA，
∴ON=2，
∴t=2÷1=2；

（2）由题意，得
当0＜t≤2时，如图1，
∵ON=t，
∴OM=2t，
在Rt△MON中，由勾股定理，得
MN=t．
∵S△MON=，
∴S△MON==；
当2＜t≤4时，如图4，
作AE⊥OC于E，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AEO中由勾股定理，得
AE=2．
∴MN=2．
∵S△MON=，
∴S△MON==t；
当4＜t＜6时，如图5，
∵CD=t-4，
∴DN=（t-4），
∴MN=6-t，
∴S△MON===-t2+3t；

（3）当0＜t≤2时，如图6，
当PM=PN时，如图6，
作PD⊥OC的延长线于点D，作PE⊥MN于点E，
∴四边形ENDP是矩形，
∴EN=PD．
∵ON=t，∠AOC=90°，
∴MN=t．
∵PM=PN，
∴NE=MN=．
∵PB=2t，
∴PC=4-2t，
∴CD=2-t，
∴PD=2-t，
∴=2-t，
∴t=；
当NP=MN时，如图7，
∴NP2=MN2，．
∵MN2=3t2，NP2=（4-t+2-t）2+[（2-t）]2，=7t2-36t+48，
∴3t2=7t2-36t+48，
∴t1=＞2（舍去），t2=
当MP=MN时，如图8，作PE⊥OA于E，CF⊥OA与F，
∴PE=2，PC=EF=4-2t，OF=2，
∴ME=2t-2-（4-2t）=4t-6，
∴MP2=（4t-6）2+（2）2=16t2-48t+48．
∵MN2=3t2．
∴3t2=16t2-48t+48．此时无解．
当2＜t≤时，如图9，
MN=NP=2＞2（舍去）
当＜t≤4时，如图12，
MN=NP=2
∵CP=2t-4，CN=t-4，
∴PN=3t-8
∴3t-8=2，
∴t=
∴存在l的值，使△PMN为等腰三角形，t1=，t2=，t3=．