Question

我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=______；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是______
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A₁，A₂，…，A_n在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁，B₂，…，B_n，以线段A_nB_n为边向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若这组抛物线中有一条经过D_n，求所有满足条件的正方形边长．

Answer

（1）利用顶点坐标公式（-，）填空；
（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+）2-，则易求该抛物线的顶点坐标（-，-）；
然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；
（3）根据题意可设可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=-x2+2x．所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长．
【解析】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴，
解得，，
即当顶点坐标为（1，1）时，a=-1；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，，
解得，
则a与m之间的关系式是：a=-或am+1=0．
故答案是：-1；a=-或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax2+bx=a（x+）2-，
∴顶点坐标是（-，-）．
又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上，
∴k（-）=-．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，
∴可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．
由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=-x2+2x．
∵四边形AnBnCnDn是正方形，
∴点Dn的坐标是（2n，n），
∴-（2n）2+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴满足条件的正方形边长是3，6或9．