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如图,在⊙M中,弧AB所对的圆心角为120°,已知⊙M的半径为2cm,并建立如图...

manfen5.com 满分网如图,在⊙M中,弧AB所对的圆心角为120°,已知⊙M的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)点D是弦AB所对的优弧上一动点,求四边形ACBD的最大面积.
(1)连接MA,MB,根据等腰三角形的性质可知∠AMO=AMB=60°,由直角三角形的性质可求出M点的坐标. (2)根据△AOM与△BOM是直角三角形,∠AMO=∠BMO=60°,可求出A、B两点的坐标,因为A、B两点关于y轴对称,故此抛物线关于y轴对称,根据此特点可设出抛物线的解析式,把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值,从而求出其解析式. (3)因为四边形ACBD的面积等于△ABC与△ABD的面积之和,而△ABC的面积为定值,△ABD的底边长为定值,故当△ABD的高最长时四边形的面积最大.根据直径是最长的弦可知当D在y轴上时△ABD的高最长.根据三角形的面积公式及圆的半径长可计算出四边形的面积. 【解析】 (1)连MA,MB, ∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120° ∴∠BMO=∠AMB=60° ∴∠OBM=30°  2分 ∴OM=MB=1  1分 ∴M(0,1)1分 (2)∵OC=MC-MO=1  OB== ∴C(0,-1)B(,O)  2分 ∵经过A,B,C三点的抛物线关于y轴对称 ∴设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c  1分 把C(0,-1)和(,0)分别代入上式 得:a=,c=-1   1分 ∴y=x2-1.   1分 (3)∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD,又S△ABC与AB均为定值1分 ∴当△ABD边上的高最大时,S△ABD最大, 此时点D为⊙M与y轴交点,由于⊙M的半径为2cm,OM=1cm ∴OD=3cm, 此时S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×2×1+×2×3=+3=4cm2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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