Question

选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：如图1，正比例函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数图象上的点，且B点的横坐标为-1，在x轴上一点P，使PA+PB最小，求P点的坐标．
题乙：如图2，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）求直径AB的长．

Answer

甲（1）设A（x，-x），根据△OAM的面积为1，求出x的值，进而求出反比例函数系数k；
（2）作B关于x轴的对称点N，连结AN，交x轴于P，AN就是PA+PB的最小值，求出N点坐标，由两点间距离公式求出AN的长；
乙（1）连结OD，BC，证明四边形CFDE是矩形，得到∠EDO是直角，相切证明；
（2）首先求出CB的长，然后利用勾股定理求出AB的长．
题甲：【解析】
点A是y=-x与y=（k≠0）的交点，设A（x，-x），
∵△OAM的面积为1，
∴|AM|×|OM|=x×x=1，
解得x=±2，
∵点A在第二象限，所以x=-2，
（-）（-2）=-，k=-2，
反比例函数的解析式为y=-；

（2）如图，作B关于x轴的对称点N，连结AN，交x轴于P，
AN就是PA+PB的最小值，
过A作NB的垂线，交BN于G
∵B在y=-上，且横坐标为-1，
∴B的纵坐标为2，
∴N（-1，-2），
AN===，
∴PA+PB的最小值为．

题乙：证明：（1）如图连结OD，BC，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，
又∵AB是直径，
∴AC⊥BC，
∴四边形CFDE是矩形，
∴∠EDO是直角，所以DE与⊙O相切，

（2）∵DE=6，
∴CB=2CF=2ED=12，
又∵AC=16，
∴AB===20．