Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．动点P、Q同时以每秒1cm的速度分别从A、C出发，点P沿A→B→C的路线、点Q沿C→B→A的路线匀速运动，过点Q做QE⊥CD，交折线CDA于点E，设点P的运动时间为t，△PQE的面积为S．
（1）求AB的长；
（2）当t=3秒时，求S的值；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）直接写出△PQE为直角三角形时t的取值．

Answer

（1）在Rt△ABD中，由∠A=60°，BD⊥AD就可以得出∠ABD=30°，根据30°的直角三角形的性质就可以得出AB的值；
（2）当t=3时，作QF⊥AB的延长线于点F，由30°直角三角形的性质及勾股定理就可以求出BF、EQ的值，由三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）分类讨论，当0≤t≤4 如图1，②当4＜t≤6 如图2，③当6＜t≤8 如图3，④当8＜t≤10 如图4，⑤当10＜t≤12 如图5，分别根据三角形的面积公式就可以求出S的表达式；
（4）由（3）可以知道，如图2和如图3可以知道当∠PQE=90°时t的值，如图5，当∠QEP=90°时，作PF⊥AB的延长线于F，就可以得到四边形QFPE是矩形，由其性质可以得出QE=PF，就有=就可以求出t的值．
【解析】
（1）∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°
∴．

（2）当点P运动3秒时，AP=CQ=3，PB=5，
∴BQ=1，
由∠A=60°，知BF=，EQ=．
∴S△PQE=．

（3）①当0≤t≤4 时，如图1，
∴AP=CQ=t，PB=8-t．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，AD=BC=4，AB=CD=8，
∵QE⊥CD，
∴∠QEC=90°，
∴∠EQC=30°，
∴EC=t，EQ=t，
∴FB=．
∴；
②当4＜t≤6 时，如图2，
；
③当6＜t≤8时，如图3，
；
④当8＜t≤10时，如图4
；
⑤当10＜t≤12时，如图5，
AQ=12-t，QE=（12-t），
∴ 
（4）由题意，得
如图2，4≤t＜6时，△PQE为直角三角形，
如图3，6＜t≤8时，△PQE为直角三角形，
如图5，当∠PQE=90°时，作PF⊥AB的延长线于F，
∴∠PFB=90°，
∴四边形QFPE是矩形，
∴QE=PF，
∴=，
∴．