Question

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

Answer

（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，进而利用S△DEF的值求出EF即可．
（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴．
∵BD=CD，
∴．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
∴AD=8
∴S△ABC=BC•AD=×12×8=48．
S△DEF=S△ABC=×48=12．
又∵AD•BD=AB•DH，
∴DH===，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=．
∵S△DEF=×EF×DG=12，
∴EF==5．