Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为，tan∠ABO=3．直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．
求：（1）分别写出A、C、D、P的坐标；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值．

Answer

（1）根据三角函数即可求得OA，OB的长，即可得到A则坐标，C的坐标，进而求得D，P的坐标；
（2）分∠MDR=45°和∠DRM=45°两种情况求得t的值；
（3）分0＜t≤4和t＞4两种情况求得函数解析式，然后分当CR∥AB时，当AR∥BC时，当BR∥AC三种情况求得t的值，进而求得函数的最大值．
【解析】
（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
直线OP的解析式为：y=x②，
①②联立得，
∴N（，），
直线CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程组：，解得：．
则M的坐标是：（，），
∴ON=，OM=，
∵AD2+DM2=AF2+MF2，
10+MD2=（）2+（）2，
∴DM=，
AN==．
当∠MDR=45°时，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
∴，即=，
解得：MR=，
则OR=OM-MR=2．
∴t=2，
同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；
（3）①∵R速度为，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S△HCR=h•t2=|-t2+4t|，
∴S=-t2+2t（0＜t＜4）；S=t2-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：
1．顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．
延长AD，使其与OM相交于点R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=，
∴直线AD为：y=+3．
∴R坐标为（4.5，4.5），
∴此时四边形ABCR为梯形为梯形，
∴t=4.5
2．顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
∴CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
∴直线CD为：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（，），
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=，
∴当CR∥AB时，t=，S=，
当AR∥BC时，t=，S=，
当BR∥AC时，t=，S=．
（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4-t，故S=RH•HE=t（4-t）=-t2+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t-4，故S=RH•HE=t（t-4）=t2-2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=；
即M（即R）点横坐标为，H（，0）；
故t=，代入S=-t2+2t（0＜t≤4）可得S=；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=，S=；
三、BR∥AC时，t=，S=；
综合①②可得：
S=-t2+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=t2-2t（t＞4）．（1分）
当CR∥AB时，t=，（1分）
S最大=；（1分）
当AR∥BC时，t=，S最大=；（1分）
当BR∥AC时，t=，S最大=．（1分）