Question

小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合．现在，他让△C′DA′固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D．
（1）如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α=______°．
（2）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D．试说明：BC∥A′C′．
（3）如图④，若AB=，将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，求m的值．

Answer

（1）根据α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA，进而求出答案即可；
（2）根据旋转的性质得出∠CAC′=∠BAH，进而得出∠CAC′=∠C，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，HC以及HC′的长，进而得出答案．
【解析】
（1）如图②，α=∠A′C′A=45°-30°=15°；
故答案为：15；

（2）如图③，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵∠CAC′+∠CAH=∠CAH+∠BAH=90°，
∴∠CAC′=∠BAH，
在Rt△ABC中，
∵AH⊥BC，
∴∠HAC+∠C=90°，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠C=∠BAH，
∴∠CAC′=∠C，
∴BC∥A′C′；

（3）如图④，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∵AB=，
∴AC=A′C′=×=，
∴HC′=DH=A′C′=，
∴HC=×=，
所以m的值为：HC-HC′=-．