Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

Answer

（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
【解析】
（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，
解得，
故C1：y=x2-x-．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x-，
设P（x，x2-x-），则Q（x，x-），
PQ=x--（x2-x-）=-x2+x，
S△PBC=PQ•OB=×（-x2+x）×3=-（x-）2+，
当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，
×（）2--=-，
P（，-）；

（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，
顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，
MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，
BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．
①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，
解得m=-（m=舍去）．
综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形．