Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y₂=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y₁随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer

根据OC的长度确定出n的值为8或-8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=-8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．
【解析】
根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8．
分类讨论：①n=8时，易得A（-6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（-6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x==2，
要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，
∴x＞2；

（2）n=-8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，
∴抛物线开口向上，则a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x==-2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，
∴x＜-2．