Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连结CG．当（5，4）是等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer

（1）连结AD，OD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DF⊥AC，
则DF⊥OD，所以可判断DF是⊙O的切线；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，利用△ABC是等边三角形得BG是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到GA=GC，根据
AG∥BC得∠CAG=∠ACB=60°，于是可判断△ACG是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到∠AGC的度数．
（1）证明：连结AD，OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC，
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠AGC=60°．