Question

我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．
（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明（见题答卡表格里的示例）；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．

分割图形	分割或图形说明
示例：	示例： ①分割成两个菱形． ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．

（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

Answer

（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可．
【解析】
（1）在表格中作答：

分割图形       分割或图形说明
示例：
示例：
①分割成两个菱形．
②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．
①分割成两两个等腰梯形．
②两个等腰梯形的腰长都为a，
上底长都为，下底长都为a，
上底角都为120°，下底角都为60°．
①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．
②等边三角形的边长为a，
等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．
直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、a、2a．

（2） 如右图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．
∵AB=2a，E为AB中点，
∴AE=BE=a，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a，
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°-∠DEA=180°-60°=120°，
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，
∴∠BDE=∠DBE=（180°-120°）=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°
∴Rt△ADB中，∠ADB=90°，
由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即BD2+a2=（2a）2，
解得BD=a．
如右图②所示，AC=2OC=2=2=2•a=a．
∴BD=a，AC=a．