Question

如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是    ．

Answer

（1）首先，需要证明线段BBn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△ABBn∽△AON，求出线段BBn的长度，即点B运动的路径长．
【解析】
由题意可知，OM=，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接BBn．
∵AO⊥AB，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠BABn，
又∵AB=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，∴AB：AO=ABn：AN=tan30°，
∴△ABBn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴BBn=ON•tan30°=×=．
现在来证明线段BBn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，BBi．
∵AO⊥AB，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠BABi，
又∵AB=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，∴AB：AO=ABi：AP，
∴△ABBi∽△AOP，∴∠ABBi=∠AOP．
又∵△ABBn∽△AON，∴∠ABBn=∠AOP，
∴∠ABBi=∠ABBn，
∴点Bi在线段BBn上，即线段BBn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段BBn，其长度为．
故答案为：．