Question

已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点（如图），联结AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．
（1）求证：OD=OE；
（2）联结BC，当BC=2时，求∠DOE的度数；
（3）若∠BAC=120°，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积．

Answer

（1）先证出△AOB≌△AOC，∠CAO=∠ABO，再根据BD=AE，证出△BOD≌△AOE，即可得出OD=OE；
（2）设OA和BC交于M，得出∠AOB=∠AOC，∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，则∠DOE=∠BOC，∠AOC=∠BOC，再根据AB=AC，得出OA⊥BC，CM=BC=，最后根据sin∠COM==，得出∠COM=45°，∠BOC=90°，∠DOE=∠BOC=45°；
（3）先证出S△AOB=S△AOC，S△BOD=S△AOE，S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE，S△AOD=S△COE，得出S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE，S四边形ADOE=S四边形ABOC，即可证出当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积没有变化，再根据∠ABC=120°，得出∠OAB=∠OAC=60°，ABOC是菱形，再求出AM=1，BC=2，得出S菱形ABOC=2，最后根据S四边形ADOE=S四边形ABOC即可得出答案．
【解析】
（1）∵A是弧BC的中点，
∴AB=AC，
连接OB、OA、OC，
∵在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠CAO=∠ABO，
∵AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE，
即BD=AE，
∵在△BOD和△AOE中，
，
∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

（2）设OA和BC交于M，
∵△AOB≌△AOC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=∠BOC，
∠AOC=∠AOE+∠COE=∠BOC，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，CM=BC=，
∴sin∠COM==，
∴∠COM=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOE=∠BOC=45°；

（3）∵△AOB≌△AOC，
∴S△AOB=S△AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴S△BOD=S△AOE，
∴S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE，
∴S四边形ADOE=S四边形ABOC，
∴当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积没有变化，
∵∠ABC=120°，
∴∠OAB=∠OAC=60°，
∴ABOC是菱形，
∴AM=AO=1
CM===，
∴BC=2，
∴S菱形ABOC=×2×2=2，
∴S四边形ADOE=S四边形ABOC=．