Question

如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

Answer

（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：
①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；
（II）若∠DFA=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．
【解析】
（1）由题意得AB的中点坐标为（-，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b得
，
解得，，
∴y=-x2+3．                                      

（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2
∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=                                
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
（I）若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．
又∵E（t，3），F（t，-t2+3），∴EF=3-（-t2+3）=t2
∴t2=1，∵t＞0，∴t=1                                    
此时=2，，
∴，
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF                                  
（II）若∠DFA=90°，
可证得△DEF∽△FBA，则
设EF=m，则FB=3-m
∴，即m2-3m+6=0，此方程无实数根．
∴此时t不存在；                                        
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°，此时t不存在．                              
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3-t2），∴EF=3-（3-t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤．
∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t-，
∴MN=3-（t-）2，又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2，
由MN≥C′N，得3-（t-）2≥3-2t2，解得t≥或t≤--3（舍）．
∴t的取值范围为：．