Question

某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm、圆心角是60°的扇形OAB剪去一半径12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）（如图1）．
（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）
（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？
（3）如图3，若在一张半径为18cm的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？

Answer

（1）根据底面周长等于扇形的弧长，根据弧长的计算公式以及圆的周长公式即可求得底面半径，利用扇形的面积公式，纸杯的侧面积就是两个扇形的面积的差；
（2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧于F，则△OAB与△OCD是等边三角形，则矩形的长等于等边△OAB的边长，宽等于扇形OAB的半径与等边△OCD的高的差，据此即可求解；
（3）首先在以O为圆心，18cm为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环，再在剩下的半径是2cm的圆中作半径是18cm的弧即可．
【解析】
（1）设纸杯底面半径为r，
依题意，2πr=，r=2cm，
S侧=π•OA2-π•OD2=π（182-122）=30πcm2．
（2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧于F，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，∴AB=OA=18
又∵△CDO也是等边三角形，
∴∠DCO=∠BAO，
∴AB∥CD，∴AB即为长方形的长．
OC=12，OE⊥CD，∴CE=DE=6，
∴EO=6，∴EF=18-6．
即所需长方形的两边长分别为：18cm和18-6cm．
（3）∵扇形OAB的圆心角为60度，∴在以O为圆心，18cm为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面），如图．
剩下的一个半径12 cm 的圆中可按照如下方法剪圆环．作正六边形EFGHID，显然边长为12cm，将DE，FG，HI两边延长，相交于点A，B，C则以A、B、C为圆心18cm为半径画弧，三条弧相切于DE、FG、HI的中点，显然又可剪3个，
故最多可剪出9个纸杯的侧面．