Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，-），已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

Answer

（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；
（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；
（3）设P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．
【解析】
（1）将A（-2，0），B（1，-），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），
可得：，
解得：，
故所求抛物线解析式为y=-x2-x；

（2）存在．理由如下：
如答图①所示，
∵y=-x2-x=-（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为x=-1．
∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA，
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：
，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-x-，
当x=-1时，y=-，
∴所求点C的坐标为（-1，-）；

（3）设P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），
则y=-x2-x  ①
如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=-x，PG=-y，
由题意可得：S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP
=（AF+BE）•FE-AF•FP-PE•BE
=（y++y）（1+2）-y•（2+x）-（1-x）（+y）
=y+x+  ②
将①代入②得：S△PAB=（-x2-x）+x+
=-x2-x+
=-（x+）2+
∴当x=-时，△PAB的面积最大，最大值为，
此时y=-×+×=，
∴点P的坐标为（-，）．